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モンテカルロシミュレーション

【モンテカルロ】投資信託の運用成績は本当に正規分布になるのか検証してみた

投稿日:2018年11月13日 更新日:

過去2つの記事で、モンテカルロ法を用いた投資信託の将来の予想元本割れ率の推移を紹介しました。

S&P500、TOPIX、MSCIコクサイインデックス、MSCIエマージングマーケットインデックスの予想元本割れ率の推移
【モンテカルロ】資産クラス別(S&P500、TOPIX、先進国株式、新興国株式)の予想元本割れ率の推移を求めてみた

この話は昨日の続きです。 昨日の記事では、シャープレシオを0.1刻みでモンテカルロ法を走らせて、各値での元本割れ率の推移を求めました。 これをツイッターで紹介したところ、りんりさん(@SandP500 …

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シャープレシオと元本割れ率(%)の関係
【モンテカルロ】投資信託のシャープレシオと元本割れ率の関係

今回は、投資信託のシャープレシオを見ただけで、将来の元本割れ率を簡単に想像できるようになろうという話です。 乱数で投資信託の将来成績を予測する「モンテカルロシミュレーション」を利用して、いくつかの条件 …

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投資信託の将来予測において、モンテカルロシミュレーションを利用する際には、その運用成績が正規分布になることを前提に行ないます。

テストの成績は通常、平均点の近くの人数が一番多く、0点や100点に近づくほど人数が少なくなり、得点の分布は左右対称の釣鐘型になることが多いと言われます。このような分布の型を「正規分布」と言います。全国の高校生の身長や体重の分布など、多くの分布の型は正規分布であることが知られていますが、正規分布のグラフは中央が一番高く、両側に向かってだんだん低くなっていき、左右対称の釣鐘型をしていますが、正規分布の場合、この中央の一番高い位置に平均値がきます

出典:正規分布 | なるほど統計学園高等部 (総務省統計局のサイト)

しかし、本当に投資信託の運用成績が正規分布になっているのかは正直、未検証でした

経緯としてはこんな感じで、「じゃあ求めてみたよ」というのがこの記事の本題です。

なお、筆者は算数も統計も弱いので、この記事の妥当性はいつも以上に保証しません

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今回の計算でやったこと

TOPIX(東証株価指数)の過去20年の前日比を統計で処理しよう

TOPIX(東証株価指数)の過去20年の運用成績(前日比)を使い、これが正規分布になるかどうかを検証しました

データの出所はSBI証券の「Hyper SBI」からの無料ダウンロードです。

TOPIXのデータなので、厳密には投資信託そのものの成績ではないのですが、モンテカルロ法自体がTOPIXのような指数(インデックス)をベースに求めているので、今回やりたいことへの支障はありません。

なお、総データ数は4,909個です。

上記ツイート中にある記事(以下のリンク)で検証されたデータ数は90個なので、今回の検証数はそれよりも圧倒的に多いです。

投資信託のリターンが正規分布に従うのかをS&P500指数で検証 | ほったらかし投資の達人

エクセルでの処理は以下のサイトが役立ちました

手順解説 | Excel(エクセル)でおこなうビジネスデータの分析 | ひとりマーケティングのためのデータ分析

この記事にある手順をまるまるTOPIXのデータに当てはめて求めた感じです。

結果。投資信託の運用成績は正規分布にならない??

TOPIXの場合

まず、これがTOPIXの前日比の分布です。

TOPIXの前日比(%)の分布

横実が前日比(%)で、縦軸がその出現頻度です。

もっとも出現頻度が多いのは前日比0%~+1%で、まあ感覚的にもそうかなと思います。

ほんどありませんが、前日比-9%の暴落と呼べる相場や、逆に+14%近い日もあったりします。

このヒストグラムだけみると、なんとなく正規分布しているようにも見えますが、実際にはちょっと違うようです。

TOPIXの前日比から作るQ-Qプロット

この図は「Q-Qプロット」と言うそうです。

観測値が正規分布に従う場合の期待値をY軸にとり、観測値そのものをX軸にとった確率プロット

観測値を昇順に並べた順位からパーセンタイル(累積確率)を求め、正規分布の確率密度関数の逆関数を用いて期待値を予測する。プロットが一直線上に並べば、観測値は正規分布に従っていると考えられる。

出典:正規Q-Qプロット | 統計WEB

この図では横軸がTOPIXの前日比で、縦軸が正規分布に従う場合の期待値だそうです。

重要なのは「プロットが一直線上に並べば、観測値は正規分布に従っている」の一文。

図を見ていただくと分かるように、直線状にはなっていません

このことから、TOPIXの運用成績は(おそらく)完全な正規分布にはならず、本来想定される正規分布よりもピークが突出している可能性があります

ストレートに言えば「モンテカルロ法の結果を鵜呑みにするなよ!!」って話ですね。

もともと、モンテカルロは過去のデータから求めるもので、将来の成績は保証しない点には注意すべきなんですが。

せっかくなのでS&P500(米国著名500銘柄から成る指数)もやってみた

せっかくなので、まったく同じ方法でS&P500の検証もやってみました。

データの出所はやはりSBI証券のもので、こちらは2005年からの3,288個のデータを処理しました。

S&P500の前日比(%)の分布

S&P500の前日比から作るQ-Qプロット

S&P500のQ-Qプロットは、TOPIXよりもさらに線形が歪んでいますね!

こちらは正規分布に比べて暴落や暴騰と呼ばれる事象が多い可能性を示すそうです。

投資信託の運用成績は単純な正規分布にならないらしい

野村證券のウェブサイトにこんなことが書いてありました。

金融工学では、正規分布を前提に置いて分析することが一般的であり、オプションの理論価格を求めるブラックショールズモデルも原資産価格のリターンが正規分布する(厳密には、原資産価格自体の変動が対数正規分布する)ことを仮定している。

リターンが正規分布すると仮定すると、「期待リターンの平均±標準偏差」の範囲に収まる確率が約68%になるなど将来のリターンの変動幅を単純化しやすい利点があるが、株価や投資信託の基準価額の実際の変動が正規分布で表せることはほとんど無く、通常、リターンの度数分布は歪みが生じ左右非対称になったり、分布のピークが先鋭化することが多い。特に、金融市場の調整局面でのリターンはマイナス方向に大きく偏り、裾が極端に広い「ファット・テール」という現象が生じる。

出典:正規分布(せいきぶんぷ) | 野村證券

この結果はモンテカルロシミュレーションにどう影響する?

おそらく、現在の計算よりも最終的な着地点(将来の見込まれる運用損益)の幅が広がるのではないか、と思います。

いずれにせよ、普段から損失への備えを行なっておくことは大切なので、やはりモンテカルロの結果を信頼しすぎないように、という話ですね。

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まとめ

  • TOPIXとS&P500の過去の運用成績の「前日比(%)」を利用して、その値が正規分布になるのかどうかを検証した
  • その結果、TOPIX、S&P500ともに正規分布にならない可能性。特に暴騰・暴落と呼ばれる現象が、正規分布よりも多めに存在している可能性がある
  • 乱数シミュレーションは正規分布を仮定して行なっているので、その結果は暴騰・暴落の想定が甘くなっているかもしれない

結論としては、モンテカルロの結果を信頼しすぎず、特に大きな株価の下落に対しては常に備えておこうという話です。

先に述べたように、算数も統計も専門ではないので、今回の記事はいつも以上に保証しません。

これが答え:投資信託は複数の正規分布に近い事象の集まり(後日談)

その後、ツイッターで教えていただいた話を調べてみると、どうやら投資信託の運用成績は、単体でまとめてみると正規分布にはならないが、値動きの大きい期間 or 小さい期間でクラスタリングすると、それぞれが広がりの違う正規分布に「近い」集まりらしい、という話であることがわかりました。

書籍「ファイナンス理論全史(著:田渕直也 氏)」によると、複数のボラティリティ(値動きの大きさのこと。リスク)が合わさると、真ん中が高く両裾が広い尖った分布になるそう。

つまり、ボラティリティの高い期間 or 低い期間で分けてみれば、それぞれが正規分布に近くなるが、この記事の検証データのように全てまとめてみてしまうと、正規分布から程遠くなる、との記述がありました。

単純な正規分布からは予測できない部分(特に暴落)をどのように予測、回避するかは、実際の金融の現場でも未解決の問題として残り続けているそうです。

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